matematis lubang hitam (black hole)

Kali ini kita akan membahas tentang lubang hitam. Tapi, kita bahas secara matematis agar kita bisa tahu secara pasti definisi dan hakikat lubang hitam yang sesungguhnya. Kita mulai dengan pengertian lubang hitam secara awam, lubang hitam atau black hole adalah adalah sebuah materi yang memiliki massa yang amat besar dan ukuran yang sangat kecil dengan kata lain lubang hitam adalah sebuah bintang maha mampat. Hal itu dikarenakan gravitasinya yang sangat besar sejalan dangan massanya yang besar dan dimensinya yang kecil, sehingga cahaya sekalipun tidak mampu meliloskan diri darinya bahkan kecepatan cahaya saja tidak mampu mengalahkan kecepatan lepas yang diakibatkan massa tersebut. Untuk mengetahui apa yang dialami cahaya dalam medan gravitasi bisa anda lihat pada materi tentang relativitas umum di blog ini. Baiklah, sekarang marilah kita akan cari bagaimana proses matematis sedemikian hingga materi bahkan cahaya tidak dapat lolos dan tersedot kedalam lubang hitam. Saya akan coba mendahulukan proses matematis yang rumit bagi yang mengerti matematika tingkat tinggi tapi nanti di bagian akhir kita akan bahas proses matematis yang lebih sederhana. Kita sudah mengerti bahwa disekitar objek masif M ruang waktu melengkung. Garis dunia dari partikel dan berkas cahaya geodesik, untuk mendapatkannya perlu diketahui tensor metrik gdi dalam koordinat yang dipilih. Kita pilih x0 sebagai waktu x1 , x2 , x3 koordinat bola x0 = t, x1 = r, x2 = x3  dengan M sebagai titik pusatnya. Jika M nol, rumus jaraknya

Sebagaimana dalam relativitas khusus. Sekarang, jika masa M eksis ada dua hal yang akan terjadi: ruang posisi menjadi melengkung sehingga lingkaran r tidak secara tepat berada pada jarak r dari o, dan jam pada setiap permukaan r tidak teramati dan permukaan r lain berjalan dengan laju sama. Efek ini di tampung dalam elemen jarak

Dengan r)(r) Persamaan diatas memberi elemen tensor metrik g00 = eg11 = -eg22 = -rg33 = - rsing = 0, tidak sama dengan  atau

Setelah kita cari invert tensor metriknya, kita akan dapatkan determinan

Bernilai negative. Selanjutnya kita cari semua komponen simbol Christoffel

Dan semua komponen tensor Ricci dari

Tidak saya uraikan karena abang nurdin(saya sendiri) capek kalo harus nulis persamaan yang sangat panjang, jadi saya akan langsung ke hasilnya. Dari persamaan diatas kita akan mendapatkan

Dan semua suku non-diagonal lenyap. Sekarang kita kembali ke medan gravitasi luar bahkan jauh dari sumber. Di dalam medan gravitasi di luar sumber yakni fdi ruang kosong tensor ricci lenyap, R= 0. kondisi ini dari keempat persamaan diatas memberikan

Sebut persamaan tersebut “persamaan hasil” Selisih dari dua persamaan diatas memberikan

Syarat batas di kejauhan r = tak terhingga, ruang adalah datar maka dan lenyap. Didalam limit ini ds2 tereduksi menjadi bentuk Minskowskian. Kita dapatkan  Kondisi ini membuat “persamaan hasil” nomer tiga menjadi

Konstanta integrasi -2m terkait dengan massa sumber. Dengan demikian elemen garis akan menjadi

Elemen garis atau metrik ini mengambarkan medan gravitasi di luar sumber yang simetri bola serta tidak bergantung pada distribusi materi di dalam sumber. Untuk menginterpretasikan metrik tersebut, kita perhatikan kasus limit medan lemah dengan

Dengan adalah potensial Newton. Untuk sumber potential terpusat dengan massa total M, maka gravitasi Newton kita dapatkan

Maka

Kedua persamaan diatas memberikan

Sekarang kita telah mengetahui harga m, lalu apa artinya semua ini. Kita bisa masukkan nilai m/r pada elemen garis (yang menggambarkan keadaan ruang waktu di sekitar massa M) dan hasilnya sangat mengejutkan pada saat m/r bernilai ½ atau lebih ternyata kelengkungan ruang waktu sangat tinggi yang menggambarkan gerak materi yang melebihi kecepatan cahaya dan jika mempartimbangkan relativitas khusus pergerakan materi hanya dimungkinkan menuju ke arah massa M dan tidak mungkin alias mustahil meninggalkan massa M tersebut, dengan kata lain tidak ada materi yang dapat meninggalkan massa M tersebut. Secara teoritis jika semua materi tidak dapat meninggalkan massa M dan membutuhkan kecepatan yang lebih cepat dari kecepatan cahaya untuk melawan kelengkungan ruang waktu maka cahaya sekalipun tidak akan ada kesempatan sedikitpun untuk meninggalkan massa M. jadi kita sekarang sudah mengetahui bagaimana cahaya dan segala materi di dunia ini dapat tersedot dan tidak mungkin alias mustahil bisa lolos dari lubang hitam. Kesimpulannya materi akan menjadi sebuah lubang hitam apabila

Persamaan di atas adalah syarat sebuah materi dapat dikatakan lubang hitam. Nah sekarang jika anda-anda, agan-agan atau teman-teman yang sulit mengikuti penjelasan yang menyangkut ruang waktu diatas. Sekarang abang nurdin(saya sendiri) akan menjelaskannya secara klasik tapi melibatkan fisika modern Mari kita tinjau pada masalah kecepatan lepas suatu planet. Untuk bisa lepas dari pengaruh gravitasi planet materi harus memiliki energi kinetik sama atau lebih besar dari energi potensial planet tersebut. Jadi

Bayangkan apabila v dalam persamaan tersebut bernilai sama atau lebih dari kecepatan cahaya. Sudah jelas dalam relativitas khusus tidak ada partikel yang dapat melampaui kecepatan cahaya jadi saat v bernilai sama atau lebih dari kecepatan cahaya maka tidak ada materi yang dapat lolos dari gaya gravitasi massa M tersebut. Jadi dalam perhitungan sederhana ini pada saakita mendapatkan kesimpulan, materi dapat dikatakan lubang hitam apabila kecepatan lepas disekitarnya (setelah mempertimbangkan cahaya juga tidak dapat meloloskan diri) melebihi kecepatan cahaya (kita beri simbol c)sehingga dapat dituliskan dalam persamaan

Hasil di atas memang lain dan kurang akurat karena tidak memperhatikan faktor ruang waktu tapi kita bisa mengetahui mengapa partikel atau cahaya tersedot dan tidak bisa meninggalkan lubang hitam. Sekarang kita tinjau dari dari segi cahaya itu sendiri. Cahaya terdiri dari paket energi yang disebut foton, foton memiliki energi E = hf, dan memiliki massa m = hf/c2. Energi cahaya juga akan berkurang dalam medan gravitasi hal itu disebabkan foton melawan energi potensial grafitasi. Setelah melawan medan grafitasi energi foton akan turun menjadi E = hf’. Begini perhitungannya

Dalam persamaan diatas Ef adalah energi foton atau cahaya dan f adalah frekwensi cahaya. kita dapatkan kesimpilan apabila GM/(c2r) bernilai 1 maka tidak ada frekwensi cahaya yang tersisa. Ini berarti tidak ada cahaya yang keluar dari medan gravitasi. Sekali lagi kita dapatkan syarat terjadinya lubang hitam. Yaitu, lubang hitam akan terbentuk apabila suatu materi memiliki massa dan jari-jari sedemikian hingga memenuhi persamaan

Demikianlah proses matematis lubang hitam. Dan kesimpulannya, lubang hitam atau black hole adalah adalah sebuah materi yang memiliki massa yang amat besar dan ukuran yang sangat kecil dengan kata lain lubang hitam adalah sebuah bintang maha mampat. Hal itu dikarenakan gravitasinya yang sangat besar sejalan dangan massanya yang besar dan dimensinya yang kecil, sehingga cahaya sekalipun tidak mampu meliloskan diri darinya bahkan kecepatan cahaya saja tidak mampu mengalahkan kecepatan lepas yang diakibatkan massa tersebut. Meskipun dalam pembahasan ini kita mendapatkan tiga syarat yang berbeda dalam terjadinya lubang hitam namun perhitungan yang lebih akurat tetap perhitungan yang pertama karena proses matematisnya melibatkan ruang waktu dan memenuhi dua syarat yang lain. Yaitu, lubang hitam akan terjadi apabila sebuah materi memenuhi persamaan

Demikianlah penjelasan saya tentang proses matematis lubang hitam.