#toc { border: 0px solid #000000; background: #ffffff; padding:2px; width:495px; margin-top:10px;} .toc-header-col1, .toc-header-col2, .toc-header-col3 { background: #B5CBFA; color: #000000; padding-left: 5px; width:250px;} .toc-header-col2 { width:75px;} .toc-header-col3 { width:125px;} .toc-header-col1 a:link, .toc-header-col1 a:visited, .toc-header-col2 a:link, .toc-header-col2 a:visited, .toc-header-col3 a:link, .toc-header-col3 a:visited { font-size:100%; text-decoration:none;} .toc-header-col1 a:hover, .toc-header-col2 a:hover, .toc-header-col3 a:hover { font-size:100%; text-decoration:underline; color:#3D3F44;} .toc-entry-col1, .toc-entry-col2, .toc-entry-col3 { padding-left: 5px; font-size:100%; background:#f0f0f0;}

Subscribe

RSS Feed (xml)

Powered By

Skin Design:
Free Blogger Skins

Powered by Blogger

Never ending Universe

Senin, 15 September 2008

Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Diketahui

1. Jumlah dan Hasil Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Pada kegiatan 1 Anda telah mempelajari bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dimana a, b, c R dan a 0 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut:

x1 = atau x2 =

Dari rumus di atas, kita dapat menentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien a, b, dan c.

Bagaimana menentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda simak penjelasan berikut ini.

a) Jumlah akar-akar persamaan kuadrat.
x1 + x2 = +
x1 + x2 =
x1 + x2 =
x1 + x2 =
b) Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
x1 . x2 = .
x1 + x2 =
x1 + x2 =
x1 + x2 =
x1 + x2 =

Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh sifat sebagai berikut:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus:

x1 + x2 = dan x1 . x2 =

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini!

Contoh 1:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x – 3x + 2 = 0, maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, hitunglah:

a. x1 + x2

b. x1 . x2

c. x1 + x2

d. +

Jawab:

x – 3x +2 = 0, berarti a = 1, b = -3, dan c = 2.

a.

x1 + x2 = = = = 3

b. x1 . x2 = = = 2
c.
Untuk menghitung nilai x1 + x2 kita harus mencarinya terlebih dulu sebagai berikut:
(x1 + x2)
(x1 + x2) - 2x1.x2
atau x1 + x2
= x1 + 2x1.x2 + x2
=
x1 + x2
=
(x1 + x2) - 2x1.x2
=


=

= (-4) - 6
= 16 - 6
= 10
d.
Untuk menghitung nilai + kita harus menyamakan penyebutnya terlebih dulu sebagai berikut:
+
=

=

=

=

=

=

Bagaimana, mudah bukan? Sudah pahamkah Anda? Nah, apabila masih kurang paham, perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:

Akar-akar persamaan kuadrat 2x +5x – 6 = 0 adalah p dan q. Tanpa harus menyelesaikan persamaanya terlebih dulu, hitunglah nilai:
a. p + q
b.
p . q
c.
p + q

d.

e. (p – q)

Jawab:

2x + 5x – 6 = 0, berarti a = 2, b = 5, dan c = -6.

a. p + q = -5/2 = -2

b. p . q = -6/2 = -3

c. Dari jawaban soal nomer 1 bagian c telah Anda ketahui bahwa:
x1 + x2
p + q
= (x1 + x2) - 2x1.x2
=
(p + q) – 2pq

=


=

=

=

=

= 12

d. (disamakan penyebutnya)

=

=

=

=

=

=

e. (p-q)
= p – 2pq +q

= p + q – 2pq
karena p + q
(p – q)

= (p + q) – 2pq, maka:
= (p + q) – 2pq – 2pq
= (p + q) – 4pq

=

=

= + 12

= 18

Setelah memperhatikan dua contoh tadi apakah Anda sudah paham? Baiklah, selanjutnya untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas kerjakanlah soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini! Perhatikan, Anda jangan membaca jawabannya terlebih dahulu.

1.
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x + 6x + 5 = 0 maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu hitunglah nilai:
a. x1 + x2
b. x1 . x2
c. x1 + x2

d. +
2.
Akar-akar persamaan kuadrat 3x – 7x + 2 = 0 adalah p dan q. Tanpa harus menyelesaikan persamaanya terlebih dulu, hitunglah nilai:
a. p + q
b.
p . q
c.
p + q

d.

e. (p – q)

Tidak sulit bukan? Sudah selesaikah Anda mengerjakannya? Apabila sudah selesai, seperti inikah pekerjaan Anda?

1. x + 6x + 5 = 0, berarti a = 1, b = 6, dan c = 5.

a.

x1 + x2 = = = -6

b. x1 . x2 = = = 5
c.
Untuk menghitung nilai x1 + x2 kita harus mencarinya terlebih dulu sebagai berikut:
x1 + x2
= (x1 + x2) - 2x1.x2

=


=

= (-6) - 2.5
= 36 - 10
= 26
d.
+
=

=

=

=

= -1

2. 3x – 7x + 2 = 0, berarti a = 3, b = -7, dan c = 2.

a.

p + q = =

b. p . q = =
c.
Untuk menghitung nilai p + q kita harus mencarinya terlebih dulu sebagai berikut:
p + q
= (p + q) - 2p.q

=


=

=

=

=

=

= 4
d.


=

=

=


=


=


=


= 3

e. (p-q) = p – 2pq +q

= p + q – 2pq
= (p + q) – 2pq – 2pq
= (p + q) – 4pq

=

=

=

=

=

=

= 2

Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Jika ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segera samakanlah dengan jawaban di atas. Apabila mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka.


2. Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Diketahui

Apabila akar-akar suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat itu dengan dua cara, yaitu: menggunakan faktor dan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Untuk jelasnya, marilah kita pelajari materi di bawah ini.

a.
Menggunakan Faktor
Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x – x1)(x – x2) = 0, maka x1 dan x2 merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya, apabila x1 dan x2 merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:

Bagaimana menggunakan rumus di atas? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4!

Jawab:
Di sini berarti x1 = 3 dan x2 = 4.
Dengan menggunakan rumus: (x – x1) (x - x2 )
Maka diperoleh : (x – 3) (x – 4)
x – 4x – 3x + 12
x – 7x + 12
= 0
= 0
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x – 7x +12 = 0.

Mudah bukan? Anda masih belum paham? Baiklah, untuk itu simaklah contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -5!

Jawab:
Di sini berarti x1 = dan x2 = -5

Dengan menggunakan rumus: (x – x1) (x - x2 )
= 0
Maka diperoleh : (x – ) (x – (-5))
= 0
(x – ) (x + 5)
= 0
x + 5x – x -
= 0 (kedua ruas dikalikan 2)
2x + 10x - x - 5
2x + 9x – 5
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 2x + 9x – 5 = 0.

Bagaimana, tidak sulit bukan? Sudah pahamkah Anda? Untuk menambah pemahaman Anda, perhatikanlah contoh 3 berikut.

Contoh 3:
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan -

Jawab:

Di sini berarti x1 = - dan x2 = -

Dengan menggunakan rumus: (x – x1) (x - x2 )
= 0
Maka diperoleh : (x – (- )) (x – (- ))
= 0
(x + ) (x + )
= 0
x + x + x +
= 0 (kedua ruas dikalikan 2)
6x + 9x + 2x + 3
6x + 11x + 3
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 6x + 11x + 3 = 0

Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas, sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi berikut.
1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 dan 3
2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan -7
3. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan

Perhatikan, sebelum selesai mengerjakan soal-soal tersebut Anda jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Bagaimana, sudah selesaikah Anda mengerjakannya? Apabila sudah selesai, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1. Akar-akarnya x1 = 1 dan x2 = 3

Maka: (x – x1)(x - x2)
(x – 1)(x – 3)
x – 3x – x + 3
x – 4x + 3

= 0
= 0
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x – 4x + 3 = 0

2. Akar-akarnya x1 = -2 dan x2 = -7
Maka: (x – x1)(x - x2)
(x – (-2))(x – (-7))
(x + 2)(x + 7)
x + 7x + 2x + 14
x + 9x + 14
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x + 9x + 14 = 0

3. Akar-akarnya x1 = - dan x2 =

Maka: (x – x1)(x - x2)

= 0
(x – (-))(x – )
= 0
(x + )(x - )
= 0
x - x + x -
= 0 (kedua ruas dikalikan 8)
8x - 20x + 2x - 5
8x - 18x - 5
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x - 18x - 5 = 0

Tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segeralah samakan dengan jawaban di atas. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka.

Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya dapat mempelajari materi berikut ini.

Kali ini kita akan mempelajari cara menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui dengan cara yang kedua yaitu:

b.
Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 (a 0) apabila kedua ruas dibagi dengan a, maka dapat dinyatakan dalam bentuk x + x + = 0

Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar kita peroleh hubungan:
x1 + x2 =
- = -(x1 + x2)
x1 - x2 =
= x1.x2
Jadi persamaan kuadrat x + x + = 0 dapat dinyatakan dalam bentuk:

x – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus tersebut, marilah kita simak beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4
Jawab:
Di sini berarti x1 = 3 dan x2 = 4.
Dengan menggunakan rumus: x – (x1 + x2)x + x1.x2
Maka diperoleh : x – (3 + 4)x + 3.4
x – 7x + 12
= 0
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x – 7x +12 = 0.

Mudah bukan? Selanjutnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -2!
Jawab:
Di sini berarti x1 = dan x2 = -2

Dengan menggunakan rumus: x – (x1 + x2)x + x1.x2
= 0
Maka diperoleh : x – ( + (-2))x + .(-2)
= 0
x – ( - 2)x - 1
= 0
x – ( - )x - 1
= 0
x – (- )x - 1
= 0
x + x - 1
= 0 (kedua ruas dikali 2)
2x + 3x - 2
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 2x + 3x - 2 = 0.

Sudah pahamkah Anda? Apabila sudah paham, bagus! Nah, untuk menambah pemahaman Anda perhatikan contoh 3 di bawah ini!

Contoh 3:
Akar-akar persamaan kuadrat 3x + 2x – 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan
Jawab:
Persamaan kuadrat 3x + 2x – 1 = 0, berarti a = 3, b = 2, dan c = -1

Maka : a + b =
- = -
a . b =
= -
Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2,
maka: x1
= dan x2 = .
Ini berarti x1 + x2 = +

= (disamakan penyebutnya)

=

=

=

= 2

Ini berarti x1 . x2 = .

=

=

= 1.

= -3

Subtitusi (x1 + x2) = 2 dan (x1 . x2) = -3 ke persamaan:

x – (x1 + x2 )x + x1 . x2
x
– 2x + (-3)
x
– 2x - 3

= 0
= 0
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x – 2x – 3 = 0.

Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan berikut:
1.


2.

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 4 dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -5 dan 6 dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!

3.

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan - dengan menggu-nakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!

4.

Akar-akar persamaan kuadrat x – 3x – 10 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!

5.
Akar-akar persamaan kuadrat x +3x + 2 = 0 adalah 2a dan b. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2a dan 2b dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!

Sebelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan membaca jawabannya terrlebih dahulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.
1.





Akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = 4.
Dengan menggunakan rumus: x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
Maka diperoleh: x -(2+4)x + 2.4 = 0
x - 6x + 8 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x - 6x + 8 = 0
2. Akar-akarnya x1 = -5 dan x2 = 6.
Dengan menggunakan rumus: x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
Maka diperoleh: x -((-5)+6)x + (-5).6 = 0
x - 1x - 30 = 0
x - x - 30 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x - x - 30 = 0
3. Akar-akarnya x1 = - dan x2 = - .

Dengan menggunakan rumus: x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
Maka diperoleh: x -((- ) + (- ))x + (- ).(- ) = 0
x - (- - )x + = 0

x - (- )x + = 0

x + x + = 0

8x + 6x + 1 = 0



(kedua ruas dikalikan 8)
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x + 6x + 1 = 0
4. Persamaan kuadrat x – 3x – 10 = 0, berarti a = 1, b = -3, dan c = -10.

Maka a + b = - = - = 3, dan a . b = = = -10

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 = dan x2 = .

Ini berarti x1 + x2 = +

= (disamakan penyebutnya)

=

=

= -

Ini berarti x1 . x2 = .

=

=

= -

Subtitusi (x1 + x2) = - dan (x1 . x2) = - ke persamaan:

x – (x1 + x2 )x + x1 . x2

= 0
x – (- )x + (- )
= 0
x + x -
= 0 (kedua ruas dikalikan 10)
10x + 3x - 1
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 10x + 3x - 1 = 0.

5.
Persamaan kuadrat x +3x + 2 = 0, berarti a =1, b = 3, dan c = 2.
Maka a + b = - = - = -3, dan a . b = = = 2

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 = 2a dan x2 = 2b.

Ini berarti x1 + x2 = 2a + 2b

= 2(a + b)
= 2 (-3)
= -6

Ini berarti x1 . x2 =2a .2b

= 4 (a . b)
= 4 . 2
= 8

Subtitusi (x1 + x2) = -6 dan (x1 . x2) = 8 ke persamaan:
x – (x1 + x2 )x + x1 . x2
= 0
x – (- 6)x + 8
= 0
x + 6x + 8
= 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x + 6x + 8 = 0.

Tidak sulit bukan? Pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segeralah samakan dengan jawaban di atas. Jika mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teteman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawab benar selanjutnya kerjakanlah Tugas 2.

Nah, selamat mengerjakan!

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar