Persamaan Kuadrat

1. Penentuan Akar-akar Persamaan Kuadrat
Anda tentu telah mempelajari tentang persamaan kuadrat pada waktu di SMP Terbuka/Reguler. Oleh karena itu, sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, sebaiknya anda ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax + bx + c = 0 dimana a, b, R dan a 0. Persamaan yang berbentuk ax +bx + c = 0 dimana a, b, c, R dan a 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, a adalah koefisien x, b adalah koefisien x, dan c adalah suku tetapan (konstanta).

Untuk menentukan nilai-nilai a, b, dan c dari suatu persamaan kuadrat, Anda perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. x + bx + 5 = 0, nilai a = 1, b = b, dan c = 5.
2. x – 4x = 0, nilai a = 1, b = -4, dan c = 0.
3. 3x + 4x + 1 = 0, nilai a = 3, b = 4, dan c = 1.
4. x – 16 = 0, nilai a = 1, b = 0, dan c = -16.

Berkaitan dengan nilai-nilai a, b, dan c, dikenal beberapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah:

(i) (ii) (iii) (iv)

Jika a = 1, maka persamaan menjadi x + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa. Jika b = 0, maka persaman menjadi x + c = 0 dan persaman seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna. Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut peramaan kuadrat tak lengkap. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional maka ax + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

Setelah Anda memahami beberapa bentuk persamaan kuadrat, selanjutnya marilah kita pelajari cara-cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Kita masih ingat bahwa untuk menetukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:
a. Memfaktorkan (pemfaktoran)
b. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).
c. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.
d. Menggambar grafik fungsi kuadrat.

Kali ini, kita akan mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dan menggunakan rumus kuadrat. Untuk itu, Anda pelajari baik-baik materi berikut ini.

a.	Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Jika suatu persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi berbentuk P x Q = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan (pemfaktoran). Contoh persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan antara lain:
	*	x + 3x + 2 (x+2) (x+1)	= 0 = 0
	*	2x - x - 1 (2x+1) (x-1)	= 0 = 0
	Lalu bagaimana menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda pelajari beberapa contoh soal di bawah ini. Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab:

		x + 5x + 6 x + 3x + 2x + 6	= 0 = 0	Penjelasan: disini 5x kita ubah menjadi 3x + 2x karena: 3x . 2x = x . 6 6x = 6x secara skema dapat dijelaskan sbb: x + 3x difaktorkan menjadi x(x + 30) 2x + 6 difaktorkan menjadi 2(x + 3)
		x(x+3) + 2(x+3)	= 0
		(x + 3) (x + 2)	= 0
		x+3=0 atau x+2=0
		x=0–3 atau x=0–2
		x = -3 atau x = -2
	jadi akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = -2. atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai HP = {-3, -2}.
	Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – x – 12 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab:

		x - x - 12 x + 3x + (-4x) - 12	= 0 = 0	Penjelasan: disini -x kita ubah menjadi 3x + (-4x) karena: 3x . (-4x) = x . (-12) -12x = -12x secara skema dapat dijelaskan sbb: x + 3x difaktorkan menjadi x(x+3) -4x - 12 difaktorkan menjadi -4(x+3)
		x(x+3) - 4(x+3)	= 0
		(x + 3) (x - 4)	= 0
		x+3=0 atau x-4=0
		x=0–3 atau x=0+4
		x = -3 atau x = 4
	Jadi akar-akar persamaan kuadrat x – x – 12 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = 4. atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai HP = {-3, 4}. Bagaimana, mudah bukan? Sudah pahamkah Anda? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikanlah contoh 3 di bawah ini.
	Contoh 3: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 2x + 3x + 1 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab:

		2x + 3x + 1 2x + 2x + x + 1	= 0 = 0	Penjelasan: disini 3x kita ubah menjadi 2x + x karena: 2x . x = 2x . 1 2x = 2x secara skema dapat dijelaskan sbb: 2x + 2x difaktorkan menjadi 2x(x+1) x + 1 difaktorkan menjadi 1(x+1)
		2x(x+1) + x + 1	= 0
		2x(x+1) + 1(x + 1)	= 0
		(x + 1) (2x + 1)	= 0
		x+1=0 atau 2x+1=0
		x=0–1 atau 2x=0-1
		x = -1 atau 2x = -1
		x = -
	Jadi akar-akar persamaan kuadrat 2x + 3x + 1 = 0 adalah x1=-1 atau x2=- . Atau dalam bentuk himpunan penyelesaiaan dituliskan sebagai Hp = {-1, - }. Apakah Anda sudah paham? Bagus! Apabila masih mengalami kesulitan, perhatikan contoh 4 berikut ini.
	Contoh 4: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x - 2x = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab: 3x – 2x = 0 karena persamaan kuadrat ini hanya terdiri dari dua suku dan masing-masing suku mempunyai faktor yang sama yaitu x, maka difaktorkan menjadi: x (3x – 2) = 0

	x = 0 atau 3x – 2 3x 3x	= 0 = 0 + 2 = 2
	x	=

jadi akar-akar persamaan kuadrat 3x – 2x = 0 adalah x1 = 0 atau x2 = . Atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai Hp = {0, }. Anda masih belum paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 5 di bawah ini.

Contoh 5: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – 9 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab: x – 9 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + ) (x - ) sehingga menjadi: (x + ) (x - ) = 0 (x + 3) (x - 3) = 0 x + 3 = 0 atau x - 3 = 0 x = -3 atau x = 3 jadi akar-akar persamaan kuadrat x – 9 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = 3, atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai Hp = {-3, 3}. Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini. Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan cara pemfaktoran. 1. x + 8x + 12 = 0 2. x + x – 20 = 0 3. 2x + 7x + 3 = 0 4. 4x– 5x = 0 5. x– 4 = 0 6. x– 8 = 0 Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas, jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

	1.		x + 8x + 12	= 0	Penjelasan: di sini 8x kita ubah menjadi 6x + 2x, karena 6x . 2x 12x = x . 12 = 12x
			x + 6x + 2x + 12	= 0
			x(x + 6) + 2(x + 6)	= 0
			(x + 6) (x + 2)	= 0
		x + 6 = 0 atau x + 2 = 0
		x = -6 atau x = -2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -6 atau x2 = -2. Atau Hp = {-6, -2}

	2.		x - x - 20	= 0	Penjelasan: di sini –x kita ubah menjadi 4x + (-5x), karena 4x . (-5x) -20x = x . (-20) = -20x
			x + 4x + (-5x) - 20	= 0
			x + 4x – 5x – 20	= 0
			x(x + 4) – 5 (x + 4)	= 0
			(x + 4) (x – 5)	= 0
		x + 4 = 0 atau x – 5 = 0
		x = -4 atau x = 5
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -4 atau x2 = 5. Atau Hp = {-4, 5}

	3.		2x + 7x + 3	= 0	Penjelasan: di sini 7x kita ubah menjadi 6x + x, karena 6x . x 6x = 2x . 3 = 6x
			2x + 6x + x + 3	= 0
			2x (x + 3) + x + 3	= 0
			2x(x + 3) + 1. (x + 3)	= 0
			(x + 3) (2x + 1)	= 0
		x + 3 = 0 atau 2x + 1 = 0
		x = -3 atau x = -1/2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -3 atau x2 = - . Atau Hp = {-3, - }

4.

4x – 5x = 0 karena persamaan kuadrat ini hanya terdiri dari dua suku dan masing-masing suku mempunyai faktor yang sama yaitu x, maka difaktorkan menjadi:

			x(4x – 5)	= 0
		x = 0 atau 4x - 5 = 0
		4x = = 1
		Jadi akar-akarnya adalah x1= 0 atau x2 = 1. Atau Hp = {0, 1}

5.

x – 4 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat difaktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + )(x - ) Sehingga menjadi:

			(x + ) (x - ) (x + 2) (x – 2)	= 0 = 0
		x + 2 = 0 atau x - 2 = 0
		x = -2 atau x = 2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -2 atau x2 = 2. Atau Hp = {-2, 2}

6.

x – 8 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + ) (x - ) sehingga menjadi:

			(x + ) (x - ) (x + ) (x – )	= 0 = 0
		x + = 0 atau x - = 0
		x = - atau x = karena = = . = maka menjadi x = -2 atau x = 2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -2 atau x2 = 2. Atau Hp = {-2, 2} Bagaimana, mudah bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas?Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, Segeralah koreksi dan samakan dengan jawaban di atas. Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya dapat mempelajari materi di bawah ini.

b.	Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut: ax + bx + c = 0
	*	Kedua ruas ditambah –c, maka menjadi: ax + bx = -c
	*	Kedua ruas dibagi dengan a dimana a,
	*	Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menambah		pada
		kedua ruas, maka diperoleh: Nyatakan ruas kiri dalam bentuk kuadrat sempurna yaitu:

				atau
	jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, adalah:
	Bagaimana menggunakan rumus kuadrat di atas? Baiklah, untuk itu marilah pelajari beberapa contoh berikut.

	Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawab: x + 5x + 6 = 0, berarti a = 1, b = 5, dan c = 6. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	=
	x1=		= -2	atau	x2 =		= -3
	Jadi akar-akarnya adalah x1 =-2 atau x2 = -3. Atau Hp = {-2, -3}. Apabila diurutkan dari nilai x yang kecil, maka dapat juga ditulis Hp = {-3, -2}. Bagaimana, mudah bukan? Anda sudah paham? Bagus! Apabila Anda belum paham perhatikanlah contoh 2 di bawah ini!

	Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – 4x + 4 = 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawab: x – 4x + 4 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = 4 Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	=
	x1=		= 2	atau	x2 =		= 2
	Jadi akar-akarnya adalah x1 = x2 = 2, atau Hp = {2}, maka persamaan kuadrat itu mempunyai akar-akar sama(kembar) Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, apakah Anda paham? Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda perhatikan contoh 3 di bawah ini.

	Contoh 3: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 2x - 4x + 1 = 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawab: 2x – 4x + 1 = 0, berarti a = 2, b = -4, dan c = 1. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	=
	=
	=
	x1=			atau	x2 =
	Jadi akar-akarnya adalah x1 = atau x2 = ,
	atau Hp = {, } Bagaimana, mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 4 di bawah ini!

	Contoh 4: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 3x + 2x + 1 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat! Jawab: 3x + 2x + 1 = 0, berarti a = 3, b = 2, dan c = 1. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	Karena adalah khayal (imajiner), berarti akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah khayal (imajiner). Atau persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 atau dikatakan tidak mempunyai penyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dilambangkan dengan .
	Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi berikut ini: Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan cara menggunakan rumus kuadrat: 1. 6x – 5x + 1 = 0 2. x + 6x – 9 = 0 3. x – 4x -1 = 0 4. x – x + 2 = 0 Kerjakanlah soal-soal di atas tanpa membaca jawabannya terlebih dahulu. Apabila Anda sudah selesai mengerjakannya, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

	1.	6x – 5x + 1= 0, berarti: a = 6, b = -5, dan c = 1. Maka:
		x12 =
		=
		=
		=
		x1 = = = atau x2 = = =
		Jadi akar-akarnya adalah x1 = atau x2 =
		Atau HP = { , }

	2.	x + 6x + 9 = 0, berarti a = 1, b = 6, dan c = 9. Maka:
		x12 =
		=
		=
		x1 = = -3 atau x2 = = -3
		Jadi akar-akarnya adalah x1 = x2 = -3
		Atau HP = {-3}

	3.	x – 4x – 1 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = -1. Maka:
		x12 =
		=
		=
		=
		=
		=	2 ( 2 ± )
		x1 = 2 + atau x2 = 2 -
		Jadi akar-akarnya adalah x1 = 2 + atau x2 = 2 -
		Atau HP = { 2 + , 2 - }

	.
	Bagaimana, tidak sulit bukan? Pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya bagus, berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segeralah samakan dengan jawaban di atas. Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya dapat mempelajari materi
	2. Penggunaan Diskriminan Dalam kegiatan 1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 (a 0) dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc, yaitu: Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b – 4ac. Bentuk b–4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat ax+bx+c=0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b – 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = b – 4ac , dikarenakan nilai D = b - 4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Untuk lebih jelasnya, mairlah kita perhatikan penjelasan materi di bawah ini. Untuk memeriksa hubungan antara jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b – 4ac, simaklah kembali akar-akar persamaan kuadrat pada contoh 1 – 4 yang penyelesaiannya dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) dan telah Anda pelajari pada materi kegiatan 1 bagian b, yaitu: *) Persamaan kuadrat pada contoh 1 yaitu x = 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 = -2 atau x2 = -3. Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 adalah a = 1, b = 5, dan c = 6, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 5 - 4.1.6 = 25 – 24 = 1 = 1 Ternyata bahwa: D>0 dan D = 1 merupakan bentuk kuadrat sempurna. *) Persamaan kuadrat pada contoh 2 yaitu 2x – 4x + 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 = atau x2 = Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (tak terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 adalah a = 2, b = -4, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (-4) – 4.2.1 = 16 – 8 = 8 Ternyata bahwa D>0 dan D=8 tidak berbentuk kuadrat sempurna. *) Persamaan kuadrat pada contoh 3 yaitu x – 4x + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 = 1 atau x2 = 2 Dikatakan kedua akarnya sama (kembar), real dan rasional. Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x – 4x + 4 = 0 adalah a = 1, b = -4, dan c = 4, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (-4) – 4.1.4 = 16 – 16 = 0 Ternyata bahwa D=0 *) Persamaan kuadrat pada contoh 4 yaitu 3x + 2x + 1 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 adalah a = 3, b = 2, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 2 – 4.3.1 = 4 – 12 = -8 Ternyata bahwa D<0 Berdasarkan penjelasan di atas dapat kita ketahui bahwa ada hubungan antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya yaitu D = b – 4ac. Jadi nilai diskriminan D= b – 4ac sangat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, yaitu: 1. 2. 3. Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional. Jika D= 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional. Jika D<0,> Selanjutnya, untuk mengetahui jenis-jenis akar persamaan kuadrat (real atau tidak, sama atau tidak, rasional atau irasional) kita tidak perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, tetapi cukup menghitung nilai diskriminan D = b – 4ac. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan perhitungan nilai diskriminan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini! Contoh 1: Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut! a. x – 10x + 16 = 0 b. 3x – 36 = 0 c. x + 6x + 9 = 0 d. -2x + 3x – 6 = 0 Jawab: a. x – 10x + 16 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 16. Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (-10) – 4 . 1 .16 = 100 – 64 = 36 Karena D = 36>0 dan D = 36 = 6 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x – 10x +16 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional. b. 3x – 36 = 0, berarti a = 3, b = 0, dan c = -36. Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 0 – 4. 3. (-36) = 0 + 432 = 432 Karena D = 432>0 dan D = 432 tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 3x – 36 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional. c. x + 6x = 9 = 0, berarti a = 1, b = 6, dan c = 9. Nilai diskriminanya adalah: D = b – 4ac = 6 – 4 . 19 = 36 – 36 = 0 Karena D = 0, maka persamaan kuadrat x + 6x + 9 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional. d. -2x + 3x – 6 = 0, berarti a = -2, b = 3, dan c = -6 Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = 3 – 4. (-2).(-6) = 9 – 48 = -39 Karena D = -39 maka persamaan kuadrat –2x + 3x – 6 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). Bagaimana, mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 2 di bawah ini. Contoh 2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 2x – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)! Jawab: 2x – 4x + p = 0, berarti a = 2, b = -4, dan c = p. Nilai diskriminannya: D = b – 4ac = (-4) – 4. 2.p = 16 – 8p Agar persamaan kuadrat 2x – 4c + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka: D = 0 16 – 8P = 0 16 = 0 + 8P 16 = 8p p = 16/8 p = 2 Jadi persamaan kuadrat 2x – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai p = 2. Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda sudah paham? Apabila masih belum jelas, perhatikan contoh 3 di bawah ini. Contoh 3. Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat x + (m+2)x + m = 0, dengan m R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan! Jawab: x + (m+2) x + m = 0, berarti a = 1, b = (m + 2), dan c = m. Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (m+2) – 4. 1. m = m + 4m + 4 – 4m = m + 4 Untuk setiap m R maka m selalu positif atau m > 0, sehingga nilai D=m+4 juga selalu positif atau D = m + 4 > 0. oleh karena D >0 untuk setiap m R maka persamaan kuadrat x + (m + 2)x + m= 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan. Nah, setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan di bawah ini. 1. Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut! a. x + x – 20 = 0 b. 2x – 2x – 1 = 0 c. x – 10x + 25 = 0 d. x – x + 2 = 0 2. Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat 2x + (p + 4)x + p = 0, dengan p R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan! 3. Tentukan nilai n agar persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)! Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas jangan membaca jawabannya terlebih dahulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini. 1. a. x + x – 20 = 0, berarti a = 1, b = 1, dan c = -20 Nilai diskriminannya: D = b – 4ac = 1 – 4. 1. (-20) = 1 + 80 = 81 Karena D = 81 > 0 dan D = 81 = 9 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x + x – 20 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional. b. 2x – 2x – 1 = 0, berarti a = 2, b = -2, dan c = -1 Nilai diskriminannya: D = b – 4ac = (-2) – 4. 2. (-1) = 4 + 8 = 12 Karena D = 12 > 0 dan D = 12 tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2x – 2x – 1 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional. c. x – 10x + 25 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 25 Nilai diskriminannya: D = b – 4ac = (-10) – 4. 1. 25 = 100 + 100 = 0 Karena D = 0, maka persamaan kuadrat x – 10x + 25 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) real dan rasional. d. x – x + 2 = 0, berarti a = 1, b = -1, dan c = 2 Nilai diskriminannya: D = b – 4ac = (-1) – 4. 1. 2 = 1 - 8 = -7 Karena D = -7<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> – x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). 2. 2x + (p+4)x + p = 0, berarti a = 2, b = (p+4), dan c = p Nilai diskriminannya adalah: D = b – 4ac = (p+4) – 4. 2. p = p + 8p + 16 – 8p = p + 16 Untuk setiap p R maka p selalu positif atau p > 0, sehingga nilai D = p + 16 juga selalu positif atau D = p + 16 > 0. Oleh karena D>0 untuk setiap p R maka persamaan kuadrat 2x + (p + 4)x + p = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan. 3. x + nx + 36 = 0, berarti a = 1, b = n, dan c = 36. D = b – 4ac = n – 4. 1. 36 = n – 144 Agar persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka: D n – 144 n n n n = 0 = 0 = 0 + 144 = 144 = ± = ± 12 n = 12 atau n = -12 Jadi persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai n = 12 atau n = -12. Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus berarti Anda benar. Apabila jawaban Anda belum benar, segeralah periksa dan samakan dengan jawaban di atas. Bagi Anda yang menjawab benar selanjutnya kerjakanlah soal-soal uji kompetensi 1. Jujurlah Anda dalam mengerjakan soal-soal uji kompetensi 1 yang berguna untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan 1. Nah, selamat mengerjakan!